1 - W każdą z czterech figur należy wpisać jedną z liczb 9, 18, 64, 333 tak,
aby w kwadracie nie znalazła się ani liczba trzycyfrowa ani liczba podzielna przez 4.
Liczba będąca kwadratem liczby całkowitej winna znaleźć się w kole, a każdą liczbę dwucyfrową
należy wpisać w figurę czworoboczną.
| 
2 - Wiek mojej babci, wyrażony w latach, jest liczbą dwucyfrową, parzystą
i podzielną przez 3. Jeżeli przestawimy cyfry w liczbie lat babci, to odmładzamy ją o 36 lat.
Ile lat ma moja babcia ? | 
3 - Figurę A należy podzielić na 2 części tak, aby z tych części dało się
złożyć figurę B, a także - z tych samych 2 części - dało się złożyć figurę C. W Karcie
Odpowiedzi linie podziału zaznacz pogrubioną linią.
| 
4 - W dniu dzisiejszym, tj. 18 maja 2003 małpka, ale również jej matka,
obchodzą swoje urodziny. W tym dniu łączny wiek małpki i jej matki wynosi 30 lat, a ponadto
wiek małpki jest równy połowie wieku, który będzie miała jej matka, gdy małpka będzie miała
obecny wiek swojej matki. Które urodziny obchodzi dziś małpka ? | 
5 - Znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która dzieli się przez 13,
która ma sumę cyfr równą 13 i w której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę dwucyfrową 13. | 
6 - Szkic planu fragmentu miasta, pokazanego na rysunku, obejmuje 7 skrzyżowań
A, B, C, D, E, F i G oraz 11 odcinków ulic. Strażnik miejski patroluje ulice tej części miasta
rozpoczynając obchód od skrzyżowania A, ma obowiązek przejść każdą ulicę co najmniej jeden raz
i powrócić do skrzyżowania A. Przy każdym odcinku znajduje się liczba określająca czas, podany
w minutach, potrzebny do przejścia tego odcinka. Strażnik zna dobrze plan miasta i wybiera trasę
tak, aby łączny czas obchodu był najkrótszy. Jaki jest najkrótszy czas obchodu ?
Wynik podać w minutach.
| 
7 - W koszu jest 16 owoców. Są tam jabłka, gruszki i pomarańcze. Pomarańcz
jest co najmniej tyle ile jabłek, a jabłek jest więcej niż gruszek. Jeżeli z tego kosza
wybierzemy losowo 9 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą owoce co najmniej dwóch
rodzajów. Gdybyśmy zaś, zamiast 9, wybrali 14 owoców, to wśród owoców wybranych zawsze będą
owoce wszystkich trzech rodzajów. Ile w tym koszu mogło być pomarańcz, ile jabłek,
a ile gruszek ? Jeżeli jest więcej niż jedno rozwiązanie, to podać liczbę rozwiązań
oraz to rozwiązanie, w którym liczba pomarańcz jest największa. | 
8 - Agata ma całe pudło kartoników z cyframi 1, 2 i 3. Układa z nich liczby
wielocyfrowe o następującej własności: "wszystkie liczby dwucyfrowe utworzone z kolejnych
dwóch cyfr takiej liczby są różne". Ułożyła m.in. liczbę 231121, w której liczby dwucyfrowe:
23, 31, 11, 12 i 21 są rzeczywiście różne. Ile cyfr miała największa liczba, którą
mogła ułożyć Agata ? W Karcie Odpowiedzi podaj również 5 ostatnich cyfr tej
największej liczby wypisując je w tej samej kolejności, w jakiej występują one w liczbie Agaty. | 
9 - Znaleźć trzy kolejne liczby całkowite dodatnie, z których najmniejsza
ma sumę cyfr podzielną przez 5, pośrednia ma sumę cyfr podzielną przez 4, a największa ma
sumę cyfr podzielną przez 3. W Karcie Odpowiedzi podać te liczby w kolejności rosnącej. | |
10 - Zosia napisała na tablicy 8 liczb dwucyfrowych, z których każda,
przy dzieleniu przez 8, dawała inną resztę i wykorzystała do tego najmniejszą z możliwych
liczbę różnych cyfr. Ile wykorzystała różnych cyfr i jaka mogła być najmniejsza
suma wszystkich szesnastu cyfr w tych ośmiu liczbach ? | 
11 - Ania napisała ułamek nieskracalny  .
Może zmieniać wartość tego ułamka i zapisać wynik w postaci ułamka nieskracalnego stosując,
w odpowiedniej kolejności, następujące operacje:
- 1) może do licznika i mianownika dodać równocześnie dowolną, ale taką samą liczbę całkowitą dodatnią,
- 2) może licznik i mianownik pomnożyć przez dowolną, ale taką samą liczbę całkowitą dodatnią,
- 3) może uprościć otrzymany ułamek doprowadzając go do ułamka nieskracalnego.
Jaką najmniejszą liczbą tego typu operacji można ułamek
zamienić na: a) ułamek  ,
b) ułamek  ?
| 
12 - Na haku, u sufitu, na wysokości 3 metrów, zaczepiona jest lina, której
długość, po obu stronach haka, jest taka sama. 1 metr liny waży 300 gramów. Na jednym końcu
liny zaczepiła się małpka, która trzyma w łapce banana, zaś na drugim końcu liny zaczepiono
przeciwwagę równą wadze małpki. 1 cm banana waży 10 gramów. Długość całkowita liny, w metrach,
stanowi 1/3 wieku małpki, wyrażonego w latach, a waga małpki, w gramach, jest równa 200-krotnej
liczbie lat matki tej małpki. Łączny wiek małpki i jej matki wynosi 30 lat. Dodając dwukrotność
wagi małpki i 40-krotność wagi banana otrzymuje się ten sam rezultat, jak przy dodaniu 10-krotnej
wagi liny oraz wagi użytej przeciwwagi. Wiek małpki jest równy połowie wieku, który będzie miała
jej matka, gdy ona będzie miała obecny wiek swojej matki. Podać w centymetrach długość
banana i, z warunków równowagi, wyznaczyć różnicę długości odcinków liny po obu stronach haka?
Uwaga. Zaniedbujemy grubość haka. | 
13 - Prostokąt o bokach 25 cm i 12 cm podzielono na trzy trójkąty prostokątne
podobne w taki sposób, że długości boków każdego z nich były liczbami całkowitymi centymetrów.
Podaj, w kolejności rosnącej, obwody tych trzech trójkątów. | 
14 - Poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wpisujemy na okręgu
18 liczb, niekoniecznie różnych, ale tak dobranych, żeby każde dwie liczby stojące obok siebie
różniły się zawsze o jeden. Następnie otaczamy czerwonym kółkiem każdą liczbę, która obok siebie
ma dwie liczby od niej mniejsze, a zielonym kółkiem otaczamy każdą liczbę, która obok siebie ma
dwie liczby od niej większe. Okazało się, że suma liczb otoczonych kółkami zielonymi była równa 7.
Podaj sumę liczb otoczonych kółkami czerwonymi. | 
15 - Liczbę naturalną n nazywamy doskonałą, jeżeli jest ona równa sumie
wszystkich swoich dzielników naturalnych mniejszych od tej liczby. Liczbą doskonałą jest
np. 6, bo 6 = 1 + 2 + 3. Znaleźć wszystkie liczby doskonałe postaci p2q, gdzie
p i q są różnymi liczbami pierwszymi. | 
16 - Mówimy, że walec W(d,h) o średnicy d i wysokości h jest wpisany w walec
W(D,H), jeśli osie obu walców są prostopadłe, d = H oraz h jest liczbą dodatnią i największą z
możliwych. Bierzemy walec W(D1,H1), w którym stosunek średnicy podstawy
do wysokości jest równy k, a następnie wpisujemy w ten walec nowy walec W(D2,H2).
W walec W(D2,H2) wpisujemy kolejny walec W(D3,H3) i
proces wpisywania kolejnych walców kontynuujemy tak długo, jak długo to będzie możliwe.
1. Jaką najmniejszą wartość może mieć liczba k, jeżeli w tym procesie wpisano walec
W(D4,H4), ale nie można już wpisać kolejnego walca ?
2. Dla jakich k = D1/H1 proces wpisywania kolejnych walców jest nieskończony,
tzn. że istnieje nieskończony ciąg walców W(Dn,Hn), w którym
W(Dn+1,Hn+1) jest wpisany w W(Dn,Hn), n = 1, 2, ... ?
Uwaga. Rozważamy tu tylko walce, które mają dodatnie średnice i dodatnie wysokości.
| 
17 - Jaką największą liczbę punktów można wybrać w przestrzeni R3, aby każde
trzy z tych punktów tworzyły trójkąt ostrokątny lub co najwyżej prostokątny ? | 
18 - Na płaszczyźnie dany jest zbiór Z0 złożony z n punktów nie
leżących na jednej prostej, n ≥ 3. Ze zbioru Z0 wybieramy dwa punkty tak, aby
odcinek łączący te punkty nie zawierał, oprócz końców, żadnych innych punktów zbioru Z0.
Rysujemy ten odcinek i otrzymujemy zbiór Z1 złożony z punktów zbioru Z0 i
dorysowanego odcinka. Operację taką powtarzamy i otrzymujemy kolejno zbiory Z2,
Z3, ... , Zm, przy czym w k-tym kroku, k = 2, ... , m, wybieramy dwa
punkty ze zbioru Z0 jeszcze nie połączone odcinkiem i takie, że odcinek łączący
te punkty, oprócz wybranych punktów, nie ma ze zbiorem Zk-1 żadnych innych punktów
wspólnych. Odcinek ten dołączamy do zbioru Zk-1 i otrzymujemy zbiór Zk.
Proces kończymy, gdy otrzymamy zbiór Zm, do którego nie można dołączyć żadnego
dodatkowego odcinka. Jaką najmniejszą i jaką największą wartość może mieć liczba m ? | |
