Papierowy kwadrat podzielono na cztery prostokąty. Trzy z nich miały wymiary (wyrażone w centymetrach): 4×6, 5×9 i 2×11. Jakie wymiary miał czwarty prostokąt?

Zosia idzie w pochodzie i ma obok siebie po lewej ręce Małgosię. Dziewczynki wymieniają swoje spostrzeżenia:

• Przed nami są cztery rzędy - mówi Małgosia.
• Za nami maszeruje jeszcze siedem rzędów - mówi Zosia.
• Po mojej lewej stronie są trzy kolumny - mówi Małgosia.
• Po mojej prawej stronie są cztery kolumny - mówi Zosia.

Dziewięć kartoników z liczbami ułożono w trzy rzędy (na rysunku rzędy są ponumerowane). Należy wybrać trzy kartoniki, po jednym z każdego rzędu, i zamienić miejscami tak, aby po tej operacji w każdym rzędzie były nadal trzy kartoniki i aby sumy liczb we wszystkich rzędach były jednakowe. Podaj w kolejności rosnącej liczby znajdujące się na trzech przemieszczanych kartonikach.

W automacie można kupić soki w kartonikach. Każdy kartonik soku kosztuje 1 zł. Automat przyjmuje monety o nominałach: 1 gr, 2 gr, 5 gr, 10 gr, 20 gr, 50 gr i 1 zł. Po wrzuceniu monet i naciśnięciu przycisku automat wyrzuca pojedynczy kartonik albo zwraca wszystkie monety, jeśli suma ich nominałów jest za duża albo za mała. Ola ma w portmonetce monety o nominałach mniejszych od 1 zł, a ich suma przekracza 1 zł, jednak w tym automacie nie może kupić soku. Ile najmniej, a ile najwięcej groszy Ola może mieć w portmonetce?

Na początku ubiegłego roku szkolnego suma lat wszystkich uczniów w klasie Waldka była równa 304. Wszyscy przeszli do następnej klasy i na początku bieżącego roku szkolnego suma lat tych samych uczniów była równa 336. Waldek jest najmłodszy w klasie, a najstarszy - Romek - jest od niego o rok starszy. Wiek uczniów wyrażamy całkowitą liczbą lat. Ile lat na początku bieżącego roku szkolnego miał Waldek oraz ilu uczniów w klasie było w jego wieku?

Osiem monet ułożono tak, że jedna znalazła się w środku siedmiokąta, a pozostałe w jego wierzchołkach (patrz rysunek). Wszystkie monety mają odkryte reszki, a po wykonaniu zadania monety powinny pozostać na swoich miejscach, lecz z odkrytymi orłami. W tym celu wykonujemy kolejne operacje odwracania. W jednej operacji odwracamy zawsze trzy monety położone w trzech kolejnych wierzchołkach siedmiokąta (np. 7, 8 i 2) albo trzy monety, z których dwie położone są w sąsiednich wierzchołkach, a trzecia w środku siedmiokąta (np. 1, 2 i 3). Operacje te można wykonywać wielokrotnie, przy czym pewne monety mogą być odwracane kilka razy. Jaka najmniejsza liczba operacji odwracania pozwala wykonać postawione zadanie?

W górskiej wiosce mieszka kilku braci, którzy zajmują się hodowlą owiec. Razem mają 2004 owce, a liczby owiec w ich stadach tworzą ciąg kolejnych liczb naturalnych. Najmłodszy z braci ma najwięcej owiec i ich liczba jest parzysta. Ile owiec ma najmłodszy z braci?

Spośród trojga uczniów, których imiona umieszczono na kartach wyborczych, ma być wybrana dwuosobowa reprezentacja do samorządu szkoły. Głos jest ważny, jeśli na karcie wyborczej pozostały nieskreślone dokładnie dwa imiona. W wyborach oddano 37 głosów i wszystkie były ważne. Ania otrzymała o 10 głosów więcej niż Bernard i o 12 głosów więcej niż Celina. Na ilu kartach wyborczych było skreślone imię Ani?

Na półce ustawiono w rzędzie 9 książek. Najdroższa znalazła się na miejscu środkowym. Jej cena wyrażała się całkowitą liczbą złotych. Wszystkie książki ustawiono tak, że ceny każdych dwóch książek stojących obok siebie różniły się o 1 zł. Łączna wartość tych dziewięciu książek wynosiła 108 zł. Ile kosztowała najtańsza książka z tej półki?

Na przyjęciu urodzinowym emerytowanego kapitana Żeglugi Wielkiej zebrała się niemal cała rodzina i liczni przyjaciele. Były tam trzy córki kapitana, siedmiu wnuków i pięciu siostrzeńców. Najmłodszy z wnuków zauważył ze zdziwieniem, że obecne lata córek dziadka, to 3 kolejne liczby naturalne; lata jego siostrzeńców to 5 kolejnych liczb naturalnych, a także lata jego wnuków to 7 kolejnych liczb naturalnych. Nadzwyczajne było to, że suma lat córek była równa sumie lat siostrzeńców i równa sumie lat wnuków, a obecny wiek dziadka stanowi dwie trzecie sumy lat jego córek. Ile lat miał w tym uroczystym dniu kapitan, a ile jego najmłodszy wnuk?

Kuba jest o 4 lata starszy od Marka i o 8 lat starszy od Damiana. Iloczyn lat Marka i Pawła jest o 16 większy od iloczynu lat Kuby i Damiana. W tej czwórce chłopców są bliźniaki. Podaj w kolejności alfabetycznej imiona bliźniaków.

Na pięciu talerzykach ustawionych w koło rozmieszczono 25 orzechów, po 5 na każdym talerzyku (patrz rysunek). Rozmieszczenie orzechów można zmieniać wykonując operację przekładania, tzn. wybierając jakiś talerzyk, na którym znajdują się co najmniej 2 orzechy, i przekładając po jednym orzechu na dwa sąsiednie talerzyki (np. w sytuacji z rysunku moglibyśmy z talerzyka o numerze 2 przełożyć po jednym orzechu na talerzyki o numerach 1 i 3). Zadanie będzie wykonane, gdy, po pewnej liczbie operacji przekładania, na talerzyku nr 1 będzie jeden orzech, a na następnych talerzykach, posuwając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, będzie kolejno 3, 5, 7 i 9 orzechów. Jaką najmniejszą liczbę operacji przekładania trzeba wykonać, aby otrzymać takie rozmieszczenie orzechów i ile operacji przekładania wykonamy w tym przypadku z talerzyka nr 1, a także z talerzyków nr 2, nr 3, nr 4 i nr 5?

Figurę pokazaną na rysunku należy podzielić na dwie identyczne części dające się na siebie nałożyć bez odwracania. Podział zaznaczyć pogrubioną linią ciągłą.

Wielomian W(x) dla każdej liczby rzeczywistej x spełnia warunek

x × W(x-1) = (x-2) × W(x) oraz W(3)=6.

Znajdź W(√3).

Na stole ustawiono graniastosłup prosty o wysokości h=16 cm, którego podstawą jest sześciokąt foremny o boku a=12 cm. Mrówka znajduje się na stole przy wierzchołku A i zamierza najkrótszą drogą po dostępnej powierzchni graniastosłupa dotrzeć do punktu B (patrz rysunek). Jaka jest, w centymetrach, dokładna długość tej drogi?

Do trzech pudełek włożono 309 żetonów: do pudełka A włożono 101, do pudełka B - 103, a pozostałe do pudełka C. W grze bierze udział dwóch graczy, którzy wykonują ruchy na przemian. Każdy może wybrać niepuste pudełko i jeśli zawiera ono n żetonów, to może wyjąć z niego nie więcej niż √n żetonów, ale musi jednak wziąć co najmniej 1 żeton. Wyjęte żetony nie biorą udziału w dalszej grze. Wygrywa ten gracz, który jako pierwszy opróżni jedno z pudełek. Czy gracz wykonujący pierwszy ruch ma strategię wygrywającą? W karcie odpowiedzi wpisz "TAK" lub "NIE". W przypadku odpowiedzi "TAK" podaj liczbę ruchów, którymi gracz może rozpocząć zwycięską grę. Jeśli tych ruchów jest więcej niż jeden, podaj dwa z nich.

Liczba n ma tę własność, że wśród dowolnie wybranych n liczb naturalnych znajdą się dwie, których suma lub różnica jest podzielna przez 111. Jaka jest najmniejsza liczba n o tej własności?

Liczba nieparzysta p jest liczbą pierwszą. Dla każdej liczby k ze zbioru {1, 2, ... , p-1} wyznaczamy resztę r_k z dzielenia liczby k^p przez p². Ile wynosi suma tak otrzymanych reszt?