1 - Dla zawodów GalaxyMath zbudowano podium mające 10 miejsc (zob. rysunek) . Ile sześcianów trzeba było do tego użyć?

2 - Wszystkie pola szachownicy 3x3, która jest narysowana po lewej stronie, są pokryte trzema wężami o tej samej długości (trzy pola łącznie z głową). Dwa różne węże nie leżą nigdy na tym samym polu. Uzupełnić szachownicę 4x4, która jest narysowana po prawej stronie, w taki sposób aby wszystkie pola były pokryte czterema wężami o tej samej długości, przy czym dwa różne węże nie leżą nigdy na tym samym polu.

3 - Rozpatrzmy liczbę złożoną z 25 cyfr napisanych poniżej

Matylda chce napisać wszystkie liczby złożone z trzech cyfr które występują po kolei, jedna po drugiej, w powyższej liczbie; na przykład 432. Ile takich różnych liczb można napisać (włącznie z liczbą 432) ?

4 - Wymościć kwadratowe pudełko czterema przedziurawionymi paskami w ten sposób, aby dziury leżały w wierzchołkach kwadratu. Dwa różne paski mogą się co najwyżej dotykać wzdłuż boków.

5 - Maćkowi udało się ułożyć pięć kwadracików o boku długości 1 cm w taki sposób, że otrzymana figura miła obwód długości 10 cm, przy czym dwa różne kwadraciki mogą się co najwyżej dotykać bokami. Niestety kwadraciki się rozsypały. Odtwórz figurę Maćka.

6 - Matylda pomalowała na czerwono wszystkie dostępne ściany wieży, która jest narysowana poniżej. Nie udało się jej tylko pomalować podstawy wieży, która przylega do stołu. Jeżeli Matylda rozłoży tę wieżę na małe sześcianiki, to ile będzie sześcianików mających pomalowane dokładnie trzy ściany?

7 - Rysunek obok przedstawia makietę przyszłego gmachu Międzynarodowego Komitetu Gier Matematycznych. Ile co najmniej ścian ma ta makieta (łącznie ze ścianą, na której ten gmach stoi)?

8 - Grupa złożona z dwudziestu siedmiu osób ucztuje w restauracji. Każdy wybiera posiłek w cenie 14 euro. Pomiędzy owymi dwudziestoma siedmioma osobami niektóre są zaproszone i nic nie płacą. Osoby nie zaproszone płacą dodatkowo 4 euro, aby móc opłacić jedzenie zaproszonych. Ile osób zostało zaproszonych?

9 - Pająk znajduje się na jednym z wierzchołków sześcianu zrobionego z drutu. Kokony z jajeczkami znajdują się w środkach krawędzi. Na każdym kokonie jest napisana liczba jajeczek, która się w nim znajduje. Pająk chce zebrać jak największą liczbę jajeczek, przy czym:

- pająk porusza się wyłącznie po krawędziach sześcianu,

- pająk nigdy nie przechodzi dwukrotnie przez tę samą krawędź,

- na koniec pająk wraca do wierzchołka, z którego zaczął podróż.

10 - Zuzia chce przejść z A do Z najkrótszą drogą. Zuzi wolno chodzić tylko białymi alejkami. Zakładamy, że AB=CD=AE=EF=FD=DZ. Narysować drogę Zuzi.

11 - Znaleźć siedem kolejnych liczb całkowitych takich, że suma trzech liczb:

- na okręgu wewnętrznym,

- na okręgu zewnętrznym,

- na każdym z trzech promieni

była zawsze równa 21.

12 - Maciek stawia pionki na polach szachownicy 4x4 i dla każdego pola liczy wszystkie pionki znajdujące się zarówno na linii poziomej, jak i na linii pionowej, która przechodzi przez to pole. Na przykład dla pola zaznaczonego na rysunku, mamy 4 pionki. Maciek zauważył, że dla każdego pola, zajętego lub wolnego, zawsze są co najmniej 4 takie pionki. Jaka jest największa możliwa liczba wolnych pól? Narysuj rozkład pionków na szachownicy, który odpowiada tej największej liczbie.

13 - Nina rozcięła szachownicę 6x6 na części złożone z 1, 3, 5, 7, 9 i 11 pól, tak jak wskazano na rysunku. Z tych sześciu części, obracając je być może w przestrzeni, udało się jej ułożyć piramidę. Pokaż, że umiesz zrobić to samemu, zaznaczając te sześć części na rysunku piramidy.

14 - Nauczyciel matematyki w klasie Niny i Tomka zadał dzieciom wykonanie płaskiego modelu z kartonu, z którego będzie można skleić prostopadłościan taki, że:

- długości wszystkich jego krawędzi mierzone w centymetrach są liczbami całkowitymi większymi od 1,
- objętość prostopadłościanu wynosi 2002 cm³.

Nina, Tomek i koledzy porównują swoje modele i tu niespodzianka! Pomimo, że wszystkie one spełniają warunki zadania, powierzchnie ich modeli mierzone w cm² są za każdym razem różne. Co więcej, zauważyli oni, że otrzymali wszystkie możliwe takie modele. Jakie są powierzchnie tych modeli?

15 - Matylda i Maciek grają w bitwą morską w prostokącie na papierze kratkowanym o długości 2002 kratek i wysokości 1 kratka. Matylda narysowała okręt o długości czterech kratek. Dwie środkowe kratki okrętu są czerwone, zaś jego kratki boczne są niebieskie. Maciek próbuje zgadnąć pozycję okrętu wskazując jedną kratkę. Matylda odpowiada mu wyłącznie w jeden z czterech następujących sposobów: "za bardzo na prawo", "za bardzo na lewo", "czerwone", "niebieskie". Jaka jest najmniejsza liczba pytań, przy pomocy których Maciek może ustalić pozycję okrętu ?

16 - Ali Baba jest więźniem 42 rozbójników, którzy ukradli 41 takich samych pałeczek cudownego kadzidła. Rozbójnicy chcą podzielić te pałeczki miedzy sobą po równo. Ali Baba proponuje swoje umiejętności w zamian za uwolnienie. Ali Baba kładzie 41 pałeczek równo jedna obok drugiej i niektóre z nich przesuwa. Potem za pomocą kilku uderzeń szablą, pomiędzy którymi znowu przesuwa otrzymane kawałki, Ali Baba obdziela 42 rozbójników otrzymanymi kawałkami pałeczek w taki sposób, ze wszyscy otrzymali dokładnie takie same kawałki. Jaka jest najmniejsza ilość uderzeń szablą, którą musi wykonać Ali Baba? Ile kawałków otrzyma każdy rozbójnik ? UWAGA Jednym uderzeniem szabli można przekroić bardzo dużą ilość kawałków pałeczek.

17 - Czarnoksiężnik powierza swojemu uczniowi magiczny wzór :
"Oto magiczny wzór. Składa się on z nieskończonej ilości par AB i BA. Kiedy przepiszesz ten wzór, będziesz mnie równy." Aby zaoszczędzić na czasie, uczeń zamienia parę AB przez literę A i parę BA przez literę B. O dziwo, magiczny wzór w ogóle się nie zmienił!
Wypisz litery stojące na miejscach 2002, 2003, 2004, 2005, 2006 i 2007 magicznego wzoru.

18 - Maciek i Matylda są na wycieczce w Czechach i zwiedzają kościół w Brnie, gdzie zauważyli płytę nagrobną z interesującym napisem:

- Jakie to ciekawe - mówi Maciek. - Ten napis zawiera w sobie liczby napisane liczbami rzymskimi IV, CV, XCIV, DIII, VI, M i X! Co więcej: IV x CV + XCIV + DIII (tzn. 4x105+94+503) jest prawie równe VI + M + X (tzn. 6+100+10).
- Rzeczywiście - mówi Matylda - one się różnią tylko o 1. Ale co jest jeszcze bardziej nadzwyczajne, to to, że jeśli zamienić litery I, V, X, C, D i M różnymi cyframi spośród cyfr 1, ..., 9, to można nawet otrzymać równość IV x CV + XCIV = DIII + VI + M + X.
Wiedząc, że V = 9, rozwiązać ten kryptogram.