1 - Z ośmiu liczb 104, 106, 203, 204, 304, 308, 309 i 504 Marek wykreślił jedną liczbę i zauważył, że pozostałe siedem liczb można rozdzielić na dwie grupy o równych sumach. Podaj liczbę wykreśloną przez Marka.

2 - Na wystawę prezentującą działalność Koła Matematycznego Tomek zaproponował dwa spiralne ustawienia plansz pokazane na rysunkach 1 i 2. Każdą planszę można obrócić o kąt 90^o dookoła jednej z dwóch pionowych krawędzi bocznych (rys. 3). Jaką najmniejszą liczbę plansz trzeba obrócić w ustawieniu 1, aby otrzymać ustawienie 2?

3 - Jaką największą liczbę kafelków w kształcie krzyża można ułożyć w prostokątnym pudełku 11 x 8? Kafelki mogą się stykać, ale żaden kafelek nie może być położony na inny kafelek nawet częściowo. Sposób ułożenia kafelków podać na rysunku.

4 - Boki prostokąta leżą na liniach papieru kratkowanego, a podstawa tego prostokąta składa się z 6 boków kratek. Zosia zauważyła, że przekątna prostokąta przechodzi przez 12 kratek i poza punktem początkowym i końcowym nie zawiera innych punktów węzłowych siatki kwadratowej, tzn. wierzchołków kratek. Z ilu boków kratek składa się wysokość tego prostokąta?

5 - Liczba naturalna dzieli się przez 40 i ma dokładnie 21 dzielników naturalnych. Napisz tę liczbę.

6 - Monika napisała cztery różne liczby całkowite dodatnie, w których występowały tylko trzy różne cyfry, a każda z tych cyfr występowała dwukrotnie. Po chwili zauważyła, że jeśli do iloczynu najmniejszej i największej z tych liczb doda iloczyn dwóch pozostałych liczb, to otrzyma wynik równy sumie wszystkich czterech napisanych liczb. Podaj te cztery liczby w kolejności rosnącej.

7 - Pewien ogrodnik - miłośnik kwiatów - podzielił swoje prostokątne poletko o powierzchni 100 m² na 6 prostokątnych grządek w taki sposób, że suma szerokości grządek o numerach nieparzystych była równa sumie szerokości grządek o numerach parzystych. Następnie grządki te podzielił przekątną i na częściach zaczernionych leżących powyżej przekątnej posadził róże, a na częściach zaczernionych leżących poniżej przekątnej posadził tulipany (patrz rysunek). Podać pole części poletka, która została obsadzona tulipanami wiedąc, że pole jego części obsadzonej różami wynosi 30 m² .

8 - Do trójkąta prostokątnego ABC o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm dorysowujemy trójkąt T w taki sposób, aby trójkąty ABC i T miały wspólny bok, nie miały wspólnych punktów wewnętrznych i utworzyły razem trójkąt równoramienny. Na ile sposobów możemy zrealizować to zadanie i jakie pola będą miały dorysowane trójkąty? Podaj te liczby w cm² w kolejności niemalejącej.

9 - Jacek ma przed sobą 6 woreczków z kulami. Liczby kul w woreczkach tworzą ciąg niemalejący k₁≤k₂≤k₃≤k₄≤k₅≤k₆, w którym występują wszystkie liczby naturalne od k₁ do k₆ i tylko takie, jak np. w ciągu: 12, 12, 13, 14, 15, 15. Jacek bierze trzy woreczki dla siebie i pozostałe trzy daje swojemu bratu. Ma on w swoich woreczkach 58 kul, a jego brat ma ich 61. Podać w kolejności niemalejącej liczby kul zawartych w sześciu woreczkach Jacka. Podać również liczbę rozwiązań, a w przypadku gdy jest więcej niż jedno rozwiązanie, przedstawić dwa z nich.

10 - Średniowieczny zamek warowny otoczony jest murem złożonym z odcinków prostoliniowych o długościach 10 m, 20 m, 30 m, 40 m, 50 m, 60 m, 80 m i 110 m. Każdy taki odcinek muru jest prostopadły do odcinka, który go poprzedza oraz do odcinka, który następuje po nim. Jaką maksymalną powierzchnię może mieć obszar otoczony takim murem?

11 - Legenda mówi, że dla pewnego starego rodu szczęśliwe będą zawsze te lata, które wyrażają się liczbą dającą się przedstawić w postaci sumy kwadratu jakiejś liczby naturalnej oraz trzeciej potęgi być może innej liczby naturalnej. Szczęśliwym był rok 2000 (2000 = 44² + 4³ ). Jaki następny rok będzie szczęśliwy dla tego rodu ?

12 - Wyznaczyć dwie największe liczby w zbiorze tych liczb naturalnych, które mają wszystkie cyfry różne i dzielą się przez każdą ze swych cyfr.

13 - Wojtek buduje ciągi złożone z cyfr 0, 1,...,9 w następujący sposób. Wybiera dwie cyfry (tym razem były to cyfry 8 i 7), pisze je w ustalonej kolejności i w pierwszym kroku dopisuje z prawej strony iloczyn tych cyfr mnożąc je jak liczby jednocyfrowe. Otrzymuje w ten sposób ciąg 8756. W k-tym kroku, k≥2, oblicza iloczyn k-tej i (k+1)-szej cyfry ciągu otrzymanego po (k-1)-szym kroku i wynik dopisuje do tego ciągu z prawej strony. Jeżeli budowę ciągu rozpocznie od cyfr 8 i 7, to po ósmym kroku otrzyma ciąg 8756353018151500. Gdy postępowanie to będzie kontynuować, to otrzyma ciąg nieskończony, w którym od pewnego miejsca będą występowały same zera. Jaka będzie ostatnia cyfra w tym ciągu różna od zera?

14 - Żabka przemieszcza się po brukowanej ścieżce składającej się z 20 kostek od położenia P do położenia K przesusuwając się zawsze do przodu. Żabka potrafi przeskoczyć jednym skokiem co najwyżej 6 kostek brukowych, ale zawsze przeskakuje co najmniej jedną kostkę. Na ile sposobów żabka może osiągnąć położenie końcowe K, jeżeli porusza się tak, żeby każdy jej następny skok był co najmniej tej samej długości co poprzedni?

15 - Na okręgu ustawiamy liczby naturalne od 1 do 2001, obliczamy iloczyn każdej trójki liczb występujących obok siebie i otrzymane iloczyny dodajemy. W jakim porządku należy napisać te liczby, aby otrzymana suma była liczbą możliwie największą?

16 - Ramka latawca jest czworokątem wpisanym w koło (patrz rysunek). Długości boków czworokąta wyrażają się różnymi liczbami całkowitymi centymetrów i najmniejsza z tych liczb jest dodatnia. Powierzchnię nośną latawca tworzą cztery księżyce Hipokratesa przymocowane do wierzchołków ramki. Zewnętrzne łuki księżyców tworzą półokręgi o średnicach równych odpowiednim bokom ramki. Suma pól czterech księżyców jest równa polu czworokąta utworzonego przez ramkę i jest liczbą najmniejszą z możliwych. Podać pole tego czworokąta w cm².