Zadanie 1
1 - Ciasto (współczynnik 1)
Aby upiec jedno ciasto, Julia potrzebuje 6 jajek, 500g mąki, 300g cukru i 150g masła.
Rozgląda się po swojej kuchni i znajduje 2 kostki masła po 250g każda, 2 kg mąki, 1 kg cukru
i 3 tuziny jaj (1 tuzin = 12 sztuk). Ile ciast maksymalnie może upiec Julia?
(każde ciasto winno zawierać wszystkie składniki w wymaganych ilościach).
| Zadanie 2
2 - Ślimak (współczynnik 2)
Ślimak wspina się po murze. Pierwszego dnia, rano pokonuje 50 cm startując od podstawy muru.
Po południu, wyczerpany, opuszcza się o 20 cm i zasypia. W ten sam sposób postępuje każdego
następnego dnia. Mur ma wysokość 3,50 m. W którym dniu tej wspinaczki ślimak osiągnie
szczyt muru?
| Zadanie 3
3 - Siedem monet (współczynnik 3)
Siedem monet odwróconych reszkami do góry ułożono w rzędzie. W każdym ruchu odwraca się
trzy dowolnie wybrane monety. Jaką minimalną liczbę ruchów trzeba wykonać, aby wszystkie
monety były odwrócone orłami do góry?
| Zadanie 4
4 - Dziewięć trójkątów (współczynnik 4)
Liczby całkowite od 1 do 9 należy wpisać w dziewięć małych trójkątów tak, by suma liczb
znajdujących się w szarych trójkątach była 2 razy większa od sumy liczb z białych trójkątów.
Aby ci pomóc, dwie liczby zostały już umieszczone w trójkątach. W karcie odpowiedzi wpisz tylko
liczby w białych trójkątach. Jeśli jest więcej niż jedno rozwiązanie, to podaj tylko jedno z nich.
| Zadanie 5
5 - Medale (współczynnik 5)
Podczas szkolnej olimpiady sportowej Adam, Bartek, Czarek i Damian zdobyli 21 medali.
Bartek zdobył ich najwięcej, ale nie więcej niż 10. Damian ma tych medali dwa razy więcej
niż Czarek, Adam zaś o 3 medale więcej niż Damian. Ile medali zdobył Bartek?
| Zadanie 6
6 - Sprawiedliwy podział (współczynnik 6)
Trzeba podzielić przedstawiony na rysunku teren na 4 działki o tej samej powierzchni,
mające ten sam kształt i w taki sposób, żeby każda działka zawierała taką samą liczbę drzew
(drzewa są oznaczone kropkami). Obrysować, po liniach kratkowania, grubą kreską granice 4 działek.
| Zadanie 7
7 - Labirynt (współczynnik 7)
W tym labiryncie dodaje się liczby z pól, przez które się przechodzi. Nie można przechodzić
z jednego pola na drugie, jeżeli nie mają one wspólnego boku oraz nie można przechodzić dwa razy
przez to samo pole. Jaką największą sumę można osiągnąć przechodząc przez ten labirynt?
| Zadanie 8
8 - Stosy monet (współczynnik 8)
Wiadomo, że Tomek ma co najmniej 100 monet, ale nie więcej niż 150. Układa te monety w
stosy po 9 monet. Po ułożeniu pewnej liczby stosów zauważył, że liczba pozostałych monet była
równa liczbie ułożonych stosów. W przypadku, gdy układał te same monety w stosy po 7 sztuk,
również, przy pewnej liczbie stosów, uzyskał ten sam efekt, tj. liczba pozostałych monet była
równa liczbie ułożonych stosów. Ile monet miał Tomek?
| Zadanie 9
9 - Liczby od 1 do 9 (współczynnik 9)
W pola planszy (na rysunku poniżej) należy wpisać liczby całkowite od 3 do 9 (liczby
1 i 2 zostały już umieszczone) w taki sposób, żeby:
- suma czterech liczb umieszczonych w polach kwadratów 2×2 była taka sama
- liczba napisana w polu środkowym (wyróżnionym obwódką) była możliwie największa
Podaj liczbę rozwiązań, a przypadku, gdy jest więcej niż jedno, podaj 2 z nich.
| |
Zadanie 10
10 - Kłamcy na kongresie (współczynnik 10)
Na kongresie w Mathville zebrało się 2000 matematyków, z których kaźdy jest specjalistą
tylko w jednej dziedzinie: albo jest arytmetykiem, albo algebraikiem, albo geometrą.
Wśród nich są 2 kategorie ludzi: kłamcy, którzy zawsze kłamią oraz prawdomówni, którzy zawsze
mówią prawdę. Organizatorzy kongresu zadają kolejno każdemu uczestnikowi trzy pytania:
"czy jesteś algebraikiem?", "czy jesteś arytmetykiem?", "czy jesteś geometrą?".
Liczby odpowiedzi TAK na każde z pytań są odpowiednio równe: 100, 540, 1610.
Ilu jest kłamców na tym kongresie?
| Zadanie 11
11 - Ciąg bez powtórzeń (współczynnik 11)
Franek pisze ciąg liczb używając tylko cyfr 1, 2, 3, 4 i 5 w taki sposób, że:
- dwie cyfry napisane obok siebie są różne
- wszystkie liczby dwucyfrowe utworzone z dwóch napisanych obok siebie cyfr są różne
Na przykład: ciąg 123134251 spełnia wymagane warunki, ale ciąg 12315412 nie spełnia, bo liczba "12"
występuje w nim 2 razy. Ile cyfr jest w najdłuższym ciągu Franka?
| Zadanie 12
12 - Wiek de Morgana (współczynnik 12)
Pewnego dnia matematyk de Morgan, który urodził się i zmarł w XIX wieku, na pytanie ile ma lat,
odpowiedział w taki sposób: "...miałem y lat w roku, którego numer był równy kwadratowi y...".
W którym roku urodził się de Morgan?
| Zadanie 13
13 - Cel 2000 (współczynnik 13)
Zaczynając od 1 i wykonując tylko dwa działania:
- dodawanie jedynki
- mnożenie przez trzy
możemy otrzymać liczbę 2000. Ile co najmniej powyższych działań (łącznie)
trzeba w tym celu wykonać?
| Zadanie 14
14 - Sudoku z kart (współczynnik 14)
Pokratkowana plansza 4×4 została pokryta szesnastoma kartami:
1(as), 2, 3 i 4 każdego z czterech kolorów (trefl, karo, pik i kier). Karty są
odwrócone grzbietami. As, 2, 3 i 4 znajduje się w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w
każdym z czterech mniejszych kwadratów 2×2 (powstałych po narysowaniu linii pomiędzy
drugą i trzecia kolumną oraz między drugim i trzecim wierszem). Ponadto, karta trefl,
kier, pik i karo znajduje się również w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdym
wyróżnionym kwadracie. Jedynka pik i dwójka kier zostały już odwrócone. Gdzie
może być schowana trójka trefl? W karcie odpowiedzi podać liczbę wszystkich
możliwych miejsc dla tej karty i współrzędne tych miejsc (dla 1 pik są to współrzędne
(1,1), dla 2 kier - (3,4)).
| Zadanie 15
15 - Turniej szachowy (współczynnik 15)
W turnieju szachowym uczestniczyła parzysta liczba graczy. Każdy rozegrał dokładnie
jedną partię z każdym z pozostałych. Pięciu graczy przegrało po 2 partie (każdy z nich),
a pozostali gracze wygrali po 2 partie (każdy z nich). Nie było żadnego remisu.
Ilu graczy uczestniczyło w tym turnieju?
| Zadanie 16
16 - Iloczyn lenia (współczynnik 16)
Gdy poprosimy leniwego ucznia Piotra lekceważącego arytmetykę, aby wykonał mnożenie
dwóch liczb całkowitych dwucyfrowych, to będziemy zaskoczeni jego metodą postępowania.
Otóż wybiera on po jednej cyfrze z każdego czynnika, oblicza iloczyn tych cyfr, a następnie
dopisuje (z lewej lub z prawej strony) do niego iloczyn dwóch pozostałych cyfr. Oczywiście,
otrzymany przez niego wynik jest prawie zawsze fałszywy. Ale pewnego razu udało mu się,
o dziwo(!), otrzymać prawidłowy wynik, który jest liczbą czterocyfrową nie mającą w swoim
zapisie cyfry 0. Znaleźć tę liczbę czterocyfrową.
| Zadanie 17
17 - Kwadrat i punkt (współczynnik 17)
Długość boku kwadratowej parceli wyraża się liczbą całkowitą hektometrów. Pewien punkt
wewnętrzny tej parceli znajduje się w całkowito-liczbowych odległościach (w hektometrach) od
dwóch nierównoległych boków parceli oraz od wierzchołka wspólnego dla dwóch pozostałych boków.
Wiedząc, że suma tych trzech odległości wynosi 10 hm, obliczyć powierzchnię parceli.
| Zadanie 18
18 - Zebranie rodzinne (współczynnik 18)
Zebrało się 36 członków rodziny Chandelle, wszyscy w różnym wieku. Najmłodszy uczestnik
zebrania miał 21 lat, a najstarszy 56 lat. Aby upamiętnić to spotkanie, urządzono sesję zdjęciową.
Na każdym zrobionym zdjęciu znajduje się 6 osób i zawsze istnieją wśród nich co najmniej dwie
osoby, których lata wyrażają się kolejnymi liczbami. Nie zrobiono dwóch zdjęć z tymi samymi osobami.
Ile co najwyżej zrobiono zdjęć?
| |