Zadanie 1
1 - Z 12 zapałek można zbudować kwadrat składający się z 4 mniejszych kwadratów
(kwadratów zbudowanych z czterech zapałek). Do budowy kwadratu składającego się z 9 mniejszych
kwadratów trzeba wykorzystać 24 zapałki. Ile potrzeba zapałek do budowy dużego kwadratu
składającego się ze 100 mniejszych kwadratów ?
| Zadanie 2
2 - Cyfrowy licznik po włączeniu, pokazuje kolejno liczby 00, 01, ..., 99.
Ojciec Jasia, Pan Wspak, obrócił licznik o 180°, jak pokazuje to rysunek poniżej. Jaś
włączył tak obrócony licznik i obserwuje jego kolejne wskazania. W pewnym momencie zauważył
liczbę dwucyfrową 58. Jakie będzie następne wskazanie licznika ?
| Zadanie 3
3 - W pewnej grze można zdobyć 3 punkty za akcję typu A, 5 punktów za akcję
typu B oraz 7 punktów za akcję typu C. W jednym z meczów ekipa FFJM zdobyła 20 punktów.
Na ile sposobów można ułożyć tabelkę wyników ?
| Zadanie 4
4 - Romek idzie do sklepu po cukierki. Jest ich w tym sklepie duży wybór i
znajdują się w różnych słojach ustawionych rzędem na półce. Romek bierze 2 cukierki z pierwszego
słoja, 4 cukierki z drugiego słoja, 6 cukierków z trzeciego słoja, i przesuwając się w prawo,
bierze każdorazowo o 2 cukierki więcej z każdego następnego słoja. Po wzięciu cukierków z
ostatniego słoja powraca do poprzedniego słoja, bierze z niego dokładnie tyle cukierków ile wziął
za pierwszym razem, a następnie cofając się, bierze z każdego słoja tyle cukierków, ile brał z
tego słoja za pierwszym razem. W rezultacie wziął łącznie 98 cukierków. Ile słoi z
cukierkami było na półce ? | Zadanie 5
5 - Na tablicy rozdzielczej jest sześć lampek, z których dwie są zapalone.
Za każdym dotknięciem jednej z tych lampek zmienia ona swój stan (gaśnie - gdy była zapalona,
zapala się - gdy była zgaszona) i stan swój zmienia również każda lampka sąsiadująca z daną
lampką. Ile lampek trzeba dotknąc, aby możliwie najszybciej zgasić całą tablicę ?
| Zadanie 6
6 - Po zakończeniu budowy piramidy faraona Amatefisa III zauważono, że potężne
posągi królowej (oznaczone na rysunku literą K) oraz faraona (oznaczone literą F) zostały
umieszczone odwrotnie. Aby ustawić posągi na właściwych miejscach należy przesunąć je bardzo
ostrożnie poprzez wolne cztery kwadratowe sektory. Posągi są tak dużych rozmiarów, że w trakcie
przesuwania nie mogą się wymijać. Na przesunięcie jednego z tych posagów z jednego sektora do
sektora sąsiedniego potrzeba całego dnia, a dziennie można przesunąć tylko jeden posąg.
Ile dni zajmie cała operacja ustawiania posągów królowej i faraona na właściwe miejsca ?
| Zadanie 7
7 - Właściciel parceli o nieregularnym kształcie zamierza ją podzielić pomiędzy
trzech synów w taki sposób, aby wszystkie trzy części miały taki sam ksztalt i taką samą powierzchnię.
Części parceli zaznaczone na planie muszą się nakładać na siebie wprost lub po odwróceniu, a linie
podziału muszą przebiegać wzdłuż linii kratek.
| Zadanie 8
8 - Mathias zaprosił Matyldę do Prostych Kątów, swojego rodzinnego miasteczka.
Ulice miasta przebiegają wzdłuż boków małych kwadratów planu pokazanego na rysunku poniżej.
Mathias mieszka w punkcie A i chce pójść z Matyldą do B, aby zwiedzić muzeum "Złotych Kwadratów".
Matylda zauważa, że najkrótsza trasa ma długość 1400m. "To prawda - mówi Mathias - ale tras tej
długości jest wiele". Ile jest różnych tras długości 1400 m prowadzących z A do B ?
| |
Zadanie 9
9 - Litery od a do i należy zastąpić liczbami całkowitymi od l do 9 w taki sposób,
aby suma liczb umieszczonych w wierzchołkach szarego kwadratu powiększona o sumę liczb umieszczonych
w wierzchołkach czarnego kwadratu była równa sumie liczb umieszczonych w wierzchołkach białego kwadratu,
i aby ponadto prawdziwe były nierównosci: a < b, i < h < g < f oraz e < d.
| Zadanie 10
10 - "Superekspresowe" metro składa się z dwóch oddzielnych linii zamknietych
i ma 36 stacji ponumerowanych kolejnymi liczbami calkowitymi. Na każdej stacji jest jeden peron
wspólny dla obu linii. Po każdej linii kursuje jeden pociąg. Pociąg kursujący po linii
wewnętrznej porusza się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i zatrzymuje sią na co
dziesiątej stacji, a pociąg poruszający się po linii zewnętrznej porusza się w kierunku
przeciwnym i zatrzymuje się na co trzynastej stacji. Czas przejazdu pomiędzy dwiema kolejnymi
stacjami wynosi 3 minuty (pomijamy czas postoju pociągu na stacjach, na których zatrzymuje się).
Stoimy na stacji nr l, na której zatrzymały sie obydwa pociagi i chcemy możliwie najszybciej
znaleźć się na stacji nr 14 z jedną przesiadką. Po ilu minutach osiągniemy ten cel? | Zadanie 11
11 - Cecylia i Maciek budują wieże z jednakowych krążków białych i czerwonych.
Wieża Maćka ma mieć taką samą wysokość jak wieża Cecylii i obydwie wieże mają być budowane według
tych samych reguł:
- na każdy biały krążek trzeba położyć co najmniej dwa krążki czerwone
- nie można położyć więcej niż trzy krązki czerwone jeden na drugim
Ponadto w wieży Cecylii musi być o dwa krążki czerwone więcej niż w wieży Maćka.Jaką
najmniejszą liczbe krążków muszą oni wykorzystać do zbudowania takich dwóch wież ? | Zadanie 12
12 - Walenty otrzymał na urodziny tort o oryginalnym kształcie (patrz rys. poniżej)
i zaprosił na przyjęcie pięciu przyjaciół. Po krótkim namyśle udało mu się podzielić tort na 6 porcji
o jednakowej powierzchni i jednakowym kształcie. Jak on to zrobił?
| Zadanie 13
13 - Sześcienna bryła sklejona jest z 8 małych kostek o krawędzi 0,5 dm
wykonanych z bardzo twardego drewna. Ambitny kornik próbuje przedostać się z wierzchołka A
do wierzchołka B i ma dwie możliwosci: może przechodzić po powierzchni bryły lub drążyć
kanalik w kleju przechodząc pomiędzy ścianami dwóch małych kostek. Nie może jednak drążyć
kanalików w twardym drewnie z którego wykonane są małe kostki. Jaką długość ma
najkrótsza droga, którą wybierze kornik ? Wyniki podać w milimetrach po
zaokrągleniu do liczby całkowitej.
| Zadanie 14
14 - W każdą kratkę tablicy 3×3 należy wpisać inną liczbę całkowitą
dodatnią w taki sposób, aby iloczyny trzech liczb wpisanych w kratki leżące w linii poziomej
lub pionowej były zawsze takie same i żeby największa z dziewięciu liczb wpisanych w kratki
tablicy była możliwie najmniejsza.
| Zadanie 15
15 - Notariusz informuje Franciszka o przypadającej mu części spadku po śmierci
wuja urodzonego w 1898 roku: "... Franciszkowi, wielkiemu miłośnikowi liczb, zapisuję najmniejszą
sumę dolarów taką, która przy dzieleniu przez 98 daje resztę 20, przy dzieleniu przez 589 daje
resztę 120, przy dzieleniu przez 1998 daje resztę 400, a przy dzieleniu przez 2898 daje resztę 580.
Sumą tę należy wypłacić Franciszkowi tylko wtedy, gdy znajdzie on tę liczbę w czasie nie dłuższym
niż pół godziny od chwili zapoznania się z treścią testamentu ...". Ile dolarów otrzymał
Franciszek, jeśli spełnił wymagania wuja ? | Zadanie 16
16 - Pchełka skacze po polach szachownicy 6×6 (pola szachownicy są
kwadratami o boku l cm) wykonując skoki długości l, 2, 3, 4 lub 5 cm ze środka jednego
pola na środek innego pola leżącego na tej samej linii poziomej lub pionowej i za każdym
razem zmienia kierunek skoku. Startuje z pewnego pola szachownicy i powraca do niego
przechodząc jednokrotnie przez pozostałe pola. Na rysunku pokazano przykład trasy
pchełki o długości 60 cm. Jaką długość ma najkrótsza oraz najdłuższa trasa pchełki
rozpoczynająca się i kończąca się w tym samym polu szachownicy.
| |